Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Etapa 2.2

Integre $2 \tan (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sec^{2} (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.6

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.7

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.9

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.10

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.11

Combine.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.12

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.12.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.12.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.12.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.2.13

Combine $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 3.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Etapa 3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.2

Separe as frações.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.4

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.6

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.8

Combine $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.9

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.10

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.11

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.12

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.13

Simplifique.

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Etapa 3.7.13.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.13.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.14

Multiplique $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

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Etapa 3.7.14.1

Combine $\tan (x)$ e $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.14.2

Combine $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ e $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.15

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.16

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.17

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.18

Simplifique.

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Etapa 3.7.18.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.18.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.19

Divida $(2 y) \sec (x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.20

Multiplique $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

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Etapa 3.7.20.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.20.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.20.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.7.20.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.8

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 3.9

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.10

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 3.11

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Etapa 3.12

Reordene os fatores em $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $\sec (x)$ é $\sec (x) \tan (x)$ , a integral de $\sec (x) \tan (x)$ é $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ por $\sec^{2} (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ por $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$