Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $\cos^{2} (y)$ de $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ em $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Etapa 2.2.2

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

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Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Etapa 3.1.2

Reordene $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Etapa 3.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$