Cálculo Exemplos

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y - 1) d x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ para o numerador.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y - 1$ de $x^{2} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u = y - 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = y - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.3.4.1

Reescreva $- (- x^{- 1} + C_{2})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ .

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

Etapa 5.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{\frac{1}{x} + C}$ como $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Etapa 6.2

Reordene $e^{\frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$