Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x^{2} y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Etapa 1.5

Remova os parênteses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Etapa 1.6

Mova $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 5.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 5.5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 5.6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 5.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 5.8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 5.9

Simplifique.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 5.11

Simplifique.

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Etapa 5.11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 5.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 5.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 5.11.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 5.11.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 5.11.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 5.12

Reordene os termos.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.6

Combine.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.7

Multiplique $\sin (2 x)$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$