Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.2

Reordene $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.4

Reordene $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.7

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.8

Ao resolver $\int e^{x} \sin (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Etapa 2.3.9

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3.10

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1

Some $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ e $x \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1.1

Mova $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11.1.1.2

Para escrever $x \sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11.1.1.3

Combine $x \sin (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.11.2

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.1

Para escrever $\cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.3.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.4

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$