Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

Etapa 1

Subtraia $\ln (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 6$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 6 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{6 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{6 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{6 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7.3.4

Multiplique $\frac{e^{6 x}}{6}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u = 6 x$ . Depois, $d u = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = 6 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

Etapa 7.6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{6}{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Etapa 7.6.3

Mova $6$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Etapa 7.6.4

Multiplique $\frac{6 e^{u}}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

Etapa 7.6.5

Mova $6$ para a esquerda de $u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

Etapa 7.6.6

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.6.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

Etapa 7.6.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Etapa 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ é uma integral especial. A integral é a função integral exponencial.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

Etapa 7.8

Reescreva $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ como $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ .

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Etapa 8.1.1.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Etapa 8.1.1.2

Combine $\frac{\ln (x)}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

Etapa 8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

Etapa 8.1.3

Multiplique $- - \frac{E i u}{6}$ .

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Etapa 8.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

Etapa 8.1.3.2

Multiplique $\frac{E i u}{6}$ por $1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Etapa 8.1.4

Reordene os fatores em $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ por $e^{6 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ por $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{6 x}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{6 x}$ .

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Etapa 8.2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ para o numerador.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2.2

Fatore $e^{6 x}$ de $- e^{6 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Reescreva $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ como $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.4

Simplifique $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ movendo $- \frac{- 1}{6}$ para dentro do logaritmo.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.6

Multiplique $- - \frac{1}{6}$ .

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Etapa 8.2.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.6.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.8

Combine.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 8.2.3.1.9

Multiplique $E$ por $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$