Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x + 1} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 2 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C \cdot 1}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.4.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.3.5.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.2

Fatore $- 1$ de $C x$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) - (- C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- C x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.4

Fatore $- 1$ de $C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) - 1 (- C)}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 - C x) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x - C)}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1 - C x - C}{x + 1}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5.7

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}{1}$

Etapa 3.1.3.5.8

Divida $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} = | 2 - y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Etapa 3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} - 2$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Divida a fração $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ em duas frações.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Etapa 3.4.3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.2.2.1

Divida a fração $\frac{1 - C x}{x + 1}$ em duas frações.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} + \frac{- C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Etapa 3.4.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Etapa 3.4.3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Para escrever $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.2

Para escrever $\frac{- 2}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.3

Multiplique $\frac{- 2}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.4

Reescreva $- 1 (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ como $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2}{1}$

Etapa 3.4.4.3.6

Divida $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{\frac{1 + C x + C}{x + 1}}) + 2$