Cálculo Exemplos

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (2 x y + x)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.7

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 0$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x = 0$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- (2 x y + x)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- (2 x y + x)$ por $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Etapa 5.3.2.2

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Etapa 5.3.3

Fatore $x$ de $2 x y + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $x$ de $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Etapa 5.3.5

Substitua $- (2 x y + x)$ por $M$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Etapa 6.4

Deixe $u = 2 y + 1$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Deixe $u = 2 y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Diferencie $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Etapa 6.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 6.4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 6.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 6.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 6.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 6.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 6.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Etapa 6.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.1

Simplifique $- \ln (| 2 y + 1 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Etapa 6.11.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Etapa 6.11.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{2 y + 1}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (2 x y + x)$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $- 2 x y - x$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $x$ de $- 2 x y - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.5.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.5.3

Fatore $x$ de $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $- 2 y - 1$ e $2 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6.3

Fatore $- 1$ de $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6.4

Reescreva $- (2 y + 1)$ como $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6.5

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7.6.6

Divida $x \cdot (- 1)$ por $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Etapa 7.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Etapa 7.8

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $y$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Etapa 7.10

Combine $y$ e $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = - x$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int x d x$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 12.3

Como $- \frac{1}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 12.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{y}{2 y + 1}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Etapa 13.3

Divida $y$ por $2 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 13.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 13.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Etapa 13.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Etapa 13.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Etapa 13.3.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Etapa 13.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Etapa 13.5

Aplique a regra da constante.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Etapa 13.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Etapa 13.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Etapa 13.8

Remova os parênteses.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Etapa 13.9

Deixe $u = 2 y + 1$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1

Deixe $u = 2 y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1.1

Diferencie $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Etapa 13.9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 13.9.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 13.9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 13.9.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 13.9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 13.9.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 13.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 13.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.10.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 13.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Etapa 13.10.3

Multiplique $2$ por $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 13.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 13.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 13.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 13.13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13.14

Simplifique.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 13.15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Etapa 15.1.3

Multiplique $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

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Etapa 15.1.3.1

Reordene $\ln (| 2 y + 1 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Etapa 15.1.3.2

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Etapa 15.2

Para escrever $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 15.3

Combine $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.5.1

Multiplique $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Etapa 15.5.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Etapa 15.5.1.2

Simplifique $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Etapa 15.5.2

Multiplique os expoentes em ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Etapa 15.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 15.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.5.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 15.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 15.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$