Cálculo Exemplos

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y + 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 y - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $x + 4 y - 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Etapa 2.3.8.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x = 2 x + 4 y - 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x (x + 4 y - 2)$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x (x + 4 y - 2)$ por $N$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $- x - 4 y + 2$ e $x + 4 y - 2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.6

Reescreva $- (x + 4 y - 2)$ como $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.7

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Etapa 4.3.3.8

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| x |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x y + 1$ por $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x y + 1$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x (x + 4 y - 2)$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x + 4 y - 2$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Etapa 8.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Etapa 8.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Etapa 8.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 11.4.1

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.4.2

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Combine os termos.

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Etapa 11.6.1.1

Some $y$ e $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.6.1.2

Some $y$ e $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 11.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Etapa 12.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.2.1

Divida a fração $\frac{x y + 1}{x}$ em duas frações.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Etapa 12.1.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $y + \frac{1}{x} - y$ .

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Etapa 12.1.3.2

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$