Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 3 \cos (2 x)$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 4$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{4 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{4 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (3 \cos (2 x))$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (3 \cos (2 x))$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 3 e^{4 x} \cos (2 x) d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{4 x} y = \int 3 e^{4 x} \cos (2 x) d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 3 \int e^{4 x} \cos (2 x) d x$

Etapa 6.2

Reordene $e^{4 x}$ e $\cos (2 x)$ .

$e^{4 x} y = 3 \int \cos (2 x) e^{4 x} d x$

Etapa 6.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 2 \sin (2 x)) d x)$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{4} \cdot - 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot - 2$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

Etapa 6.5

Combine frações.

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Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

Etapa 6.5.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

Etapa 6.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

Etapa 6.5.4

Reordene $e^{4 x}$ e $\sin (2 x)$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \sin (2 x) e^{4 x} d x))$

Etapa 6.6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 \cos (2 x)) d x)))$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{4} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot 2$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

Etapa 6.8

Simplifique os termos.

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Etapa 6.8.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

Etapa 6.8.2

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

Etapa 6.8.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

Etapa 6.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2}{4} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 6.8.5

Multiplique $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4}$ por $\frac{- 2}{4}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{4 \cdot 4} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 6.8.6

Multiplique.

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Etapa 6.8.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 6.8.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + 1 (\frac{- 2}{4}) (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 6.8.6.3

Multiplique $\frac{- 2}{4}$ por $1$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 2}{4} (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 6.8.7

Multiplique $\frac{2}{4}$ por $\frac{- 2}{4}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{2 \cdot - 2}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 6.8.8

Multiplique.

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Etapa 6.8.8.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 4}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 6.8.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 4}{16} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 6.9

Ao resolver $\int e^{4 x} \cos (2 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{4 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16}}{\frac{20}{16}}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.10.1

Simplifique.

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Etapa 6.10.1.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sin (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $16$ .

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Etapa 6.10.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 \sin (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.10.1.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{2 (8)}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{2 \cdot 8}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- \sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.5

Multiplique $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}$ por $1$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.6

Cancele o fator comum de $20$ e $16$ .

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Etapa 6.10.1.6.1

Fatore $4$ de $20$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 (5)}{16}} + C)$

Etapa 6.10.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.10.1.6.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}} + C)$

Etapa 6.10.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}} + C)$

Etapa 6.10.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{5}{4}} + C)$

Etapa 6.10.1.7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{5}{4}$ .

$e^{4 x} y = 3 ((\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{5} + C)$

Etapa 6.10.2

Reescreva $3 ((\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{5} + C)$ como $3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3

Simplifique.

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Etapa 6.10.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 \cdot (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 \cos (2 x) e^{4 x}}{20} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $20$ .

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Etapa 6.10.3.3.1

Fatore $4$ de $4 \cos (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{20} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.10.3.3.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $\sin (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 \cdot (\sin (2 x) e^{4 x})}{8 \cdot 5}) + C$

Etapa 6.10.3.5

Multiplique $8$ por $5$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 \sin (2 x) e^{4 x}}{40}) + C$

Etapa 6.10.3.6

Cancele o fator comum de $4$ e $40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.3.6.1

Fatore $4$ de $4 \sin (2 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{40}) + C$

Etapa 6.10.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.3.6.2.1

Fatore $4$ de $40$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 10}) + C$

Etapa 6.10.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 10}) + C$

Etapa 6.10.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}) + C$

Etapa 6.10.4

Simplifique.

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Etapa 6.10.4.1

Reordene os fatores em $\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{e^{4 x} \cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}) + C$

Etapa 6.10.4.2

Reordene os fatores em $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}$ .

$e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} e^{4 x} \cos (2 x) + \frac{1}{10} e^{4 x} \sin (2 x)) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x))) + C$ por $e^{4 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x))) + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{4 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot e^{4 x} \cos (2 x) + \frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1.1

Fatore $e^{4 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot e^{4 x} \cos (2 x)$ .

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.1.2

Fatore $e^{4 x}$ de $\frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x)$ .

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + e^{4 x} (\frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.1.3

Fatore $e^{4 x}$ de $e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + e^{4 x} (\frac{1}{10} \sin (2 x))$ .

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x) + \frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $\cos (2 x)$ .

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{10}$ e $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{3 e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Divida $3 (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})$ por $1$ .

$y = 3 (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10}) + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 \frac{\cos (2 x)}{5} + 3 \frac{\sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.4

Combine $3$ e $\frac{\cos (2 x)}{5}$ .

$y = \frac{3 \cos (2 x)}{5} + 3 \frac{\sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.5

Combine $3$ e $\frac{\sin (2 x)}{10}$ .

$y = \frac{3 \cos (2 x)}{5} + \frac{3 \sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$