Cálculo Exemplos

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ por $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Divida $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{x y}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{x}{x - 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida $x$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Etapa 2.2.4

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.4.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{x}{x - 1}$ e $y$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.2.2

Combine $e^{x + \ln (x - 1)}$ e $\frac{x y}{x - 1}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.3

Para escrever $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $e^{x + \ln (x - 1)}$ de $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $e^{x + \ln (x - 1)}$ de $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $e^{x + \ln (x - 1)}$ de $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $e^{x + \ln (x - 1)}$ de $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Etapa 3.6

Multiplique $e^{x + \ln (x - 1)}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

Etapa 3.6.2

Combine os termos opostos em $x + \ln (x - 1) - x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

Etapa 3.6.2.2

Some $0$ e $\ln (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

Etapa 3.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Etapa 3.8

Reordene os fatores em $\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Etapa 7.3

Aplique a regra da constante.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Etapa 7.4

Simplifique.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ por $e^{x + \ln (x - 1)}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ por $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Etapa 8.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$