Cálculo Exemplos

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $4 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{y}{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{y}{4 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Etapa 1.2.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Etapa 1.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Etapa 1.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Etapa 1.2.4.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Etapa 1.2.4.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $4 y$ de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $(y + 1) (y - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = (y + 1) (y - 1)$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = (y + 1) (y - 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.4.2

Multiplique $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.2.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.2.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Etapa 2.2.2.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.3.8.2

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Etapa 2.2.2.1.3.8.3

Some $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Etapa 2.2.2.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Etapa 2.2.2.1.3.8.4.2

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$