Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 3 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int 3 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $y$ é $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 3 d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ por $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = x + \frac{K}{3}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(x + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Use o teorema binomial.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$y = x^{3} + 3 (x^{2}) \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$y = x^{3} + x^{2} K + x \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Combine $x$ e $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Etapa 3.3.2.1.2.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4

Simplifique $x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$ .

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Etapa 3.4.1

Reordene $x^{2}$ e $K$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4.2

Reordene $x$ e $K^{2}$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4.3

Mova $x^{3}$ .

$y = K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + x^{3}$

Etapa 3.4.4

Mova $K x^{2}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + K x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.4.5

Reordene $\frac{K^{2} x}{3}$ e $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{3} + K x^{2} + x^{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = K + \frac{K x}{3} + K x^{2} + x^{3}$