Cálculo Exemplos

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y + 3 y^{2} - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $y$ é $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Etapa 2.5.2

Some $4 x + 6 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Etapa 3.3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $x + 2 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Etapa 3.3.6.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $4 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $4 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x (x + 2 y)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $x (x + 2 y)$ por $N$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.5

Subtraia $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $2$ de $2 x + 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.6.2

Fatore $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.6.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Etapa 6.4.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $4 x y + 3 y^{2} - x$ por $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x (x + 2 y)$ por $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.5.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Etapa 7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Etapa 7.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Etapa 7.7.2

Some $3$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Etapa 7.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Etapa 9.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Etapa 9.3

Como $2 x^{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 9.5

Simplifique.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 9.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 9.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 9.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Etapa 9.6.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{4} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.4.3

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Subtraia $4 x^{3} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Etapa 13.1.2

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 13.1.3

Combine os termos opostos em $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Subtraia $4 x^{3} y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 13.1.3.2

Some $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 13.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $3 y^{2} x^{2}$ e $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 13.1.3.4

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Etapa 13.1.3.5

Some $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 14.5

Reescreva $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 16

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$