Cálculo Exemplos

$y (x + 9) + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x + y \cdot 9 + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.1.2

Mova $9$ para a esquerda de $y$ .

$y x + 9 y + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Subtraia $y x$ dos dois lados da equação.

$9 y + \frac{d y}{d x} = - y x$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $9 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - y x - 9 y$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $- y x - 9 y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $y$ de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) - 9 y$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $y$ de $- 9 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) + y \cdot - 9$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $y$ de $y (- 1 x) + y \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x - 9)$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- x - 9)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 9$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 9) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 9 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 9 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$