Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 - 3 y$ . Depois, $d u = - 3 d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 - 3 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

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Etapa 2.2.7.1

Reescreva $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ como $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$3 (1 - 3 y)$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ por $3 (1 - 3 y)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ por $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.2.3

Cancele o fator comum de $1 - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.2

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.4

Multiplique $\ln ({| x |}^{3})$ por $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.6.1

Simplifique $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.6.2

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.6.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Etapa 3.2.3.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Etapa 3.2.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Etapa 3.2.3.1.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Etapa 3.2.3.1.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Etapa 3.2.3.1.11

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ .

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Etapa 3.3.3

Subtraia $9 C y$ dos dois lados da equação.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Etapa 3.3.4

Subtraia $\ln ({| x |}^{3})$ dos dois lados da equação.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Etapa 3.3.5

Fatore $y$ de $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Etapa 3.3.5.2

Fatore $y$ de $- 9 C y$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Etapa 3.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Etapa 3.3.6

Reescreva $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ como $- \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Etapa 3.3.7

Divida cada termo em $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ por $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Divida cada termo em $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ por $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 3 C$ .

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (3 C) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ .

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.7

Reescreva $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ como $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Etapa 3.3.7.3.2.8

Fatore $- 1$ de $- 9 C$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Etapa 3.3.7.3.2.9

Fatore $- 1$ de $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Etapa 3.3.7.3.2.10

Reescreva $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ como $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Etapa 3.3.7.3.2.11

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Etapa 3.3.7.3.2.12

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$