Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Etapa 3.3.4

Reordene $y^{2}$ e $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 6 x^{2} - 2 K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

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Etapa 3.6.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 6 x^{2} - 2 K$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $2$ de $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ .

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Etapa 3.6.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3.3

Fatore $2$ de $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3.4

Fatore $2$ de $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3.5

Fatore $2$ de $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Reescreva $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ como $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$