Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

Etapa 1.1.3.2

Para escrever $- y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.3.1

Combine $- y$ e $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4.4

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.4.5

Some $- 1 - y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.3.5.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.5.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $y + 1$ de $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Etapa 1.4.3.3

Fatore $y + 1$ de $(y + 1) x$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

Etapa 1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Etapa 1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ em duas frações.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Etapa 2.2.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Etapa 2.2.3.1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$