Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{2} y^{3}$ de $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2} y^{3}$ de $x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2} y^{3}$ de $- x^{2} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{2} y^{3}$ de $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x + x y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $x y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

Etapa 1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (y^{4})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x$ por $1 + y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.1.2.5

Divida $x (x - 1)$ por $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x^{2} - x$ por $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Etapa 1.5.7

Cancele o fator comum de $1 + y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Etapa 1.5.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

Etapa 1.5.8

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 1.5.8.1

Fatore $y^{3}$ de $(x^{2} - x) y^{3}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Etapa 1.5.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Etapa 1.5.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ .

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $y^{- 3}$ por $1$ .

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $y^{4}$ por $y^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique $y^{1}$ .

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.7.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$