Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(x^{2} + x)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + x}$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x}$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Etapa 1.2.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.3.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.1.2

Divida $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.3.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Etapa 2.3.1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Etapa 2.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 2.3.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 2.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 2.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 2.3.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 2.3.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

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Etapa 2.3.1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 2.3.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 2.3.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 2.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) - \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{| x |}{| x + 1 |}}) = C$

Etapa 3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| y | (\frac{| x + 1 |}{| x |})) = C$

Etapa 3.4

Multiplique $| y | \frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

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Etapa 3.4.1

Combine $| y |$ e $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y | | x + 1 |}{| x |}) = C$

Etapa 3.4.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y (x + 1) |}{| x |}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 3.7.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.7.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.3.1

Simplifique $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x |$ .

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Etapa 3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y (x + 1) | = e^{C} | x |$

Etapa 3.7.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y x + y \cdot 1 | = e^{C} | x |$

Etapa 3.7.3.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$| y x + y | = e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| y x + y | = | x | e^{C}$

Etapa 3.7.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm | x | e^{C}$

Etapa 3.7.4.3

Reordene os fatores em $\pm | x | e^{C}$ .

$y x + y = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4.4

Fatore $y$ de $y x + y$ .

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Etapa 3.7.4.4.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4.4.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4.4.4

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.7.4.5

Divida cada termo em $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 3.7.4.5.1

Divida cada termo em $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ por $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Etapa 3.7.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Etapa 3.7.4.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm C | x |}{x + 1}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C | x |}{x + 1}$