Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 72 x^{2}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 72 x^{2} d x$

Etapa 1.2

Como $72$ é constante com relação a $x$ , mova $72$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = 72 \int x^{2} d x$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 72 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$

Etapa 1.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $72 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ como $72 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 72 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $72$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{72}{3} x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum de $72$ e $3$ .

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Etapa 1.4.2.2.1

Fatore $3$ de $72$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 24}{3} x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{24}{1} x^{3} + C_{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Divida $24$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{3} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (24 x^{3} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 24 x^{3} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int 24 x^{3} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int 24 x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $24$ é constante com relação a $x$ , mova $24$ para fora da integral.

$y + C_{2} = 24 \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{2} = 24 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = 24 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{2} = 24 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5.2

Simplifique.

$y + C_{2} = 6 x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = 6 x^{4} + C x + D$