Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{y}$ e $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $10 + 4 \sin (t)$ e $2$ .

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Etapa 3.1.3.1.1.1

Fatore $2$ de $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.1.2.4

Divida $x (5 + 2 \sin (t))$ por $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ como $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$