Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Etapa 3.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Etapa 3.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Etapa 3.4

Reescreva a equação como $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Etapa 3.5

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Etapa 3.6

Some $K$ aos dois lados da equação.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Etapa 3.7

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Etapa 3.8

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Etapa 3.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Etapa 3.10

Some $K$ aos dois lados da equação.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Etapa 3.11

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$