Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $2$ de $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $2$ de $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.4

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Etapa 3.4.5

Combine $2$ e $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.4.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.8.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.4.8.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Etapa 3.4.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(0, 3)$ , considere apenas $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $3$ por $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Some $0$ e $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Etapa 6.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 K}$ como ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Simplifique ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Simplifique.

$6 K = 9^{2}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$6 K = 81$

Etapa 6.4.3

Divida cada termo em $6 K = 81$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Divida cada termo em $6 K = 81$ por $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Etapa 6.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Etapa 6.4.3.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Etapa 6.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $81$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1.1

Fatore $3$ de $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Etapa 6.4.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.4.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.4.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$K = \frac{27}{2}$

Etapa 7

Substitua $\frac{27}{2}$ por $K$ em $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{27}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Para escrever $x^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Etapa 7.2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Etapa 7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Etapa 7.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Etapa 7.2.5

Combine $6$ e $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Etapa 7.2.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Reduza a expressão $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1.1

Fatore $2$ de $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Etapa 7.2.6.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Etapa 7.2.6.1.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Etapa 7.2.6.1.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Etapa 7.2.6.2

Divida $3 (2 x^{3} + 27)$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$