Cálculo Exemplos

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Etapa 1.2

Como $\sin (3 x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\sin (3 x)$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Etapa 2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y \cos^{3} (3 x)$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.5.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.6.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Etapa 2.6.5

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ e $2$ .

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Etapa 4.3.2.1

Reordene os termos.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.2.2

Fatore $2$ de $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.2.4

Fatore $2$ de $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.2.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Etapa 4.3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Etapa 4.3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.3.2

Some $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ e $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (3 x)$ e $\cos^{3} (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $\cos^{2} (3 x)$ de $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $\cos^{2} (3 x)$ de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 4.3.6

Separe as frações.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 4.3.7

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Etapa 4.3.8

Divida $9$ por $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Etapa 5.2

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Etapa 5.3

Combine $\tan (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Etapa 5.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.5.2

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 5.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.5.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Etapa 5.6

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Etapa 5.7

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Etapa 5.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Etapa 5.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.1

Simplifique $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Etapa 5.9.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ pelo fator de integração $\sec^{3} (3 x)$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $\sin (3 x)$ por $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.2

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.5

Combine $\sin (3 x)$ e $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.6

Fatore $\cos (3 x)$ de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.7

Separe as frações.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.8

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.10

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.11

Converta de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ em $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.12

Multiplique $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Etapa 6.13

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Etapa 6.14

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Etapa 6.15

Cancele o fator comum de $\cos^{3} (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.15.1

Fatore $\cos^{3} (3 x)$ de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Etapa 6.15.2

Cancele o fator comum.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Etapa 6.15.3

Reescreva a expressão.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Etapa 6.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Etapa 6.17

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 11.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Etapa 12.3

Deixe $u_{2} = \sec (3 x)$ . Depois, $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Deixe $u_{2} = \sec (3 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Diferencie $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 12.3.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 12.3.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 12.3.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 12.3.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 12.3.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Etapa 12.3.1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 12.3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 12.4

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Etapa 12.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 12.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 12.7

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 12.8

Simplifique.

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Etapa 12.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 12.8.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 12.9

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{6}$ e $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$