Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y - 1$ de $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y (y - 2)$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y (y - 2)$ . Depois, $d u = (2 y - 2) d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y (y - 2)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1.1.3.6.1

Multiplique $y - 2$ por $1$ .

$y + y - 2$

Etapa 2.2.1.1.3.6.2

Some $y$ e $y$ .

$2 y - 2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$