Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = t \sqrt{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (t \sqrt{y})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $\sqrt{y}$ de $t \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} t)$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} t)$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = t$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = t d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int t d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int t d t$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int t d t$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int t d t$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int t d t$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int t d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int t d t$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{t^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Multiplique $t^{2}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t^{2}}{4} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Combine.

$y = \frac{t^{2} t^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{t^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Combine.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.6

Combine.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.3.1.8.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Some $\frac{t^{2} K}{8}$ e $\frac{K t^{2}}{8}$ .

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Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Reordene $t^{2}$ e $K$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $\frac{K t^{2}}{8}$ e $\frac{K t^{2}}{8}$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{4} + K$