Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 y - 2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2 y - 2$ por $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $2 y - 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $2$ de $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Divida $3 x^{2} + 4 x + 2$ por $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Etapa 3.1.3

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Etapa 3.1.4

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Fatore $4$ de $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ .

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Etapa 3.4.1.5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.2

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.3

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.4

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.5

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.6

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.7

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5.8

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6

Reescreva $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ como $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ .

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Etapa 3.4.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Etapa 3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$