Cálculo Exemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(1 + x^{2}) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Etapa 1.6

Some $0$ e $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Etapa 1.8

Reordene $1$ e $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Etapa 1.9

Remova os parênteses.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Etapa 1.10

Mova $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $1 + x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.3.2

Para escrever $\frac{C}{1 + x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (1 + x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $\frac{C}{1 + x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Etapa 6.3.3.2

Reordene os fatores de $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Etapa 6.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Etapa 6.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$