Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Etapa 1.2.2

Combine.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ de $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ de $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Etapa 1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Etapa 1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 3 y$ . Depois, $d u = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 3 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 2.3.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ por $3$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

Etapa 3.2

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$