Cálculo Exemplos

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x e^{2 y}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ e $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $4 + e^{2 y}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $4 + e^{2 y}$ de $x (4 + e^{2 y})$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Depois, $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + e^{2 y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

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Etapa 4.2.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 4.2.1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Etapa 4.2.1.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Etapa 4.2.1.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Etapa 4.2.1.1.4

Some $0$ e $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$