Cálculo Exemplos

$(2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6) d x + (2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y^{3}$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $4 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.5.2

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0 + 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1.1

Some $2 - 6 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0$

Etapa 1.6.1.2

Some $2 - 6 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} x + 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x + 0$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $2 - 6 y^{2} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} x + 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 6 y^{2} x + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 6 y^{2} x + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 y^{2} x + 2 = - 6 y^{2} x + 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 6 y^{2} x + 2 = - 6 y^{2} x + 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x d y + \int - 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x y + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.3

Como $- 3 x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $- 3 x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 1 d y$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) - y + C$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) - y + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y^{3}$ em relação a $x$ é $- y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y - y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y - y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 y - 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.5

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y - 2 y^{3} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y - 2 y^{3} x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Some $2 y - 2 y^{3} x$ e $0$ .

$2 y - 2 y^{3} x + \frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 8.7.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{3} x + 2 y = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $2 y^{3} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x$

Etapa 9.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $- 2 x y^{3}$ e $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y - 2 y^{3} x + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$

Etapa 9.1.3.2

Some $- 2 y^{3} x$ e $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + 4 x + 6 + 0 - 2 y$

Etapa 9.1.3.3

Some $2 y + 4 x + 6$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + 4 x + 6 - 2 y$

Etapa 9.1.3.4

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x + 6 + 0$

Etapa 9.1.3.5

Some $4 x + 6$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x + 6$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $4 x + 6$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 4 x + 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x + 6 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x + 6 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 4 x d x + \int 6 d x$

Etapa 10.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (x) = 4 \int x d x + \int 6 d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 d x$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + 2 x^{2} + 6 x + C$