Cálculo Exemplos

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d z}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $z$ dos dois lados da equação.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ por $u$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ por $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d z}{d u}$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Etapa 1.1.2.3.2

Para escrever $- z$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.3.1

Combine $- z$ e $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.4.1

Fatore $z$ de $z - z (1 - z)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.4.1.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.1.2

Fatore $z$ de $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.1.3

Fatore $z$ de $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.1.4

Fatore $z$ de $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.4

Multiplique $- - z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.4.2

Multiplique $z$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.4.6

Some $0$ e $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Etapa 1.1.2.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Etapa 1.1.2.3.7

Multiplique $\frac{z^{2}}{1 - z}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Etapa 1.1.2.3.8

Reordene os fatores em $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{z^{2}}{1 - z}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $1 - z$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $1 - z$ de $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $z^{2}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $z^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(z^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $z^{- 2}$ por $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $z$ por $z^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.2.1

Mova $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.3.2.2

Multiplique $z^{- 2}$ por $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.3.2.3

Some $- 2$ e $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $z^{- 2}$ com relação a $z$ é $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $z$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.7

A integral de $z^{- 1}$ com relação a $z$ é $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$