Cálculo Exemplos

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

Etapa 1.1.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x + 1)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(x + 1)}^{2}$

Etapa 2.6

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Etapa 2.7

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Etapa 2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.8.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Etapa 2.8.2

Some $x$ e $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{x + 1}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $x^{2} + 2 x + 1$ por $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.2.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.2.5.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.6.2.4

Divida $(x + 1) \cdot 2 y$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.2.10

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $x^{2} + 2 x + 1$ por $\frac{3 x}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.3.2.4

Divida $(x + 1) \cdot 3 x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.8.1

Mova $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11

Simplifique.

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Etapa 3.3.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11.2

Multiplique $2 x (- \frac{3}{x + 1})$ .

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Etapa 3.3.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{3}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11.2.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11.2.4

Combine $x$ e $\frac{- 6}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Etapa 3.3.11.3

Multiplique $- \frac{3}{x + 1}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Etapa 3.3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.12.1

Combine $\frac{3}{x + 1}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Etapa 3.3.12.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Etapa 3.3.12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Etapa 3.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.14.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.14.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.1.2

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.1.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.1.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.1.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.14.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 3.3.14.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $- 1$ mais $- 1$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.14.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3

Combine expoentes.

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Etapa 3.3.14.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.4

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.5

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.6

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.8

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 3.3.14.3.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 3.3.15

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 3.3.15.1

Fatore $x + 1$ de $- 3 {(x + 1)}^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 3.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.15.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 3.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 3.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

Etapa 3.3.15.2.4

Divida $- 3 (x + 1)$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

Etapa 3.3.16

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

Etapa 3.3.17

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

Etapa 3.4

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

Etapa 3.4.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

Etapa 7.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

Etapa 7.4

Aplique a regra da constante.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

Etapa 7.5.2

Simplifique.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ por $x^{2} + 2 x + 1$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.3.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 8.3.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.3.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 8.3.1.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.3.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Etapa 8.3.1.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 8.3.1.4.3

Reescreva o polinômio.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 8.3.1.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$