Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.6

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.3.6.1.1

Diferencie $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 2.3.6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 2.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Etapa 2.3.6.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.11.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.11.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.11.3

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$