Cálculo Exemplos

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1 + x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Etapa 1.4

Some $0$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 + x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x = - 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- (1 + x^{2})$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- (1 + x^{2})$ por $N$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $x$ de $x - (- 2 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x$ de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

Etapa 5.4

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.4.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 5.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.4.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 5.4.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 5.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Etapa 5.11.1.1

Reordene $\ln (| 1 + x^{2} |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

Etapa 5.11.1.2

Simplifique $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ movendo $\frac{3}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Etapa 5.11.2

Simplifique $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.11.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.11.4

Multiplique os expoentes em ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.11.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.11.4.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.11.4.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Etapa 5.11.4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Etapa 5.11.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.11.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $1 + x y$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $1 + x y$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- (1 + x^{2})$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1 - x^{2}$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $y$ e $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 8.2.2

Mova ${(1 + x^{2})}^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Etapa 8.2.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Etapa 8.2.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Etapa 8.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Etapa 8.2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Etapa 8.2.3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 11.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.8

Multiplique os expoentes em ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.14

Some $0$ e $2 x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.16

Combine $2$ e $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.17

Combine $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.18

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.19

Cancele o fator comum.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.20

Reescreva a expressão.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.21

Combine $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.22

Mova ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.23

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.23.1

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.23.1.1

Eleve $1 + x^{2}$ à potência de $1$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.23.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.23.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.23.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.23.4

Some $1$ e $2$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.25

Multiplique $y$ por $1$ .

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.3.26

Combine $y$ e $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y x - 1 - x y$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Reorganize os fatores nos termos $y x$ e $- x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Subtraia $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 13.3

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

Etapa 13.4

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.5

Simplifique $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

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Etapa 13.5.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.5.2

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.5.3

Reescreva $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.5.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.6

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 13.6.1

Fatore $\sec^{2} (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.6.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13.6.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Etapa 13.7

Simplifique.

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Etapa 13.7.1

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Etapa 13.7.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

Etapa 13.7.3

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$g (x) = \int \cos (t) d t$

Etapa 13.8

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$g (x) = \sin (t) + C$

Etapa 13.9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\sin (\arctan (x))$ é $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Etapa 15.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 15.1.3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Etapa 15.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Etapa 15.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

Etapa 15.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Etapa 15.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

Etapa 15.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Etapa 15.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Etapa 15.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Etapa 15.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Etapa 15.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Etapa 15.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

Etapa 15.1.3.6.5

Simplifique.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Etapa 15.2

Para escrever $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Etapa 15.3

Para escrever $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Multiplique $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.2

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.4.2.1

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ .

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Etapa 15.4.2.1.1

Eleve $1 + x^{2}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.3

Multiplique $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.4

Multiplique $1 + x^{2}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.4.4.1

Multiplique $1 + x^{2}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 15.4.4.1.1

Eleve $1 + x^{2}$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Etapa 15.4.4.4

Some $2$ e $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.4

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.6.4.1

Mova ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.5

Simplifique $x {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.8

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.6.8.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 15.6.8.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.8.2

Some $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.9

Reescreva $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 15.6.9.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 15.6.9.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.9.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15.6.9.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 1 - x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$