Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{y - 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{y - 1}$ de ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Divida a fração $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ em duas frações.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Divida a fração $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ em duas frações.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$