Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $6 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 6} \int e^{u} + 2 d u$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} \int e^{u} + 2 d u$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + \int 2 d u)$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + 2 u + C_{3})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + 2 u) + C_{4}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2

Combine $\frac{1}{12}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.2

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (x^{2})) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.4

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{12} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 (4)} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 \cdot 4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $\frac{x^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3 K}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.5

Para escrever $3 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 3.4.6

Combine $3 K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + \frac{3 K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 3 K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$

Etapa 3.4.9

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.4.10

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.11

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.11.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.11.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.4.11.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Etapa 3.4.11.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.11.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.11.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.11.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.11.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.11.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.4.11.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.4.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.12.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.4.12.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.4.12.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.12.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.4.12.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.12.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.4.12.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.13

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.13.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.13.1.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.13.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.13.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.13.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.13.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.4.13.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + K)}}{2}$