Cálculo Exemplos

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ dos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x^{2} \ln (y)$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u = \ln (y)$ . Depois, $d u = \frac{1}{y} d y$ , então, $y d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = \ln (y)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Etapa 4.2.1.1.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Etapa 4.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Etapa 5.3.2

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Etapa 5.3.2.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Etapa 5.3.2.4

Reescreva a equação como $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{- 3 x + C}$ como $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{- 3 x}$ e $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$