Cálculo Exemplos

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d t}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $t y^{2}$ dos dois lados da equação.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Etapa 1.1.3

Fatore $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ por $t^{2} (1 - y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ por $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.2.1

Fatore $t$ de $- t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.1

Fatore $t$ de $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

Etapa 1.1.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Reordene $1$ e $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Etapa 1.2.1.1.2

Reordene $1$ e $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Etapa 1.2.2

Para escrever $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

Etapa 1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- y + 1) t^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Etapa 1.2.5

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + y^{2} t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Etapa 1.2.5.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Etapa 1.2.5.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Etapa 1.2.5.4

Multiplique $y^{2}$ por $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ por $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $- y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $- y + 1$ de $- (- y + 1)$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $- y + 1$ de $(- y + 1) t^{2}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

Etapa 1.5.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Etapa 1.5.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.2

Multiplique $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $y$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Mova $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.1.3

Some $- 2$ e $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.6

A integral de $y^{- 1}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.9

Reordene os termos.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova $t^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.3

Multiplique $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $t^{- 2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $t$ por $t^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $t$ por $t^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Etapa 2.3.4.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 2}$ com relação a $t$ é $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

Etapa 2.3.7

A integral de $t^{- 1}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$