Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = c x + d$ . Depois, $d u = c d x$ , então, $\frac{1}{c} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = c x + d$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c x + d$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c x$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $c$ por $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $d$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $d$ em relação a $x$ é $0$ .

$c + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $c$ e $0$ .

$c$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ por $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{c}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{c}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Etapa 2.3.4

Divida a fração em diversas frações.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.6

Como $a$ é constante com relação a $u$ , mova $a$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ por $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.2

Combine.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.4

Cancele o fator comum de $c$ .

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Etapa 2.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.5

Combine $c$ e $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.6

Cancele o fator comum de $c$ .

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Etapa 2.3.7.6.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.7.6.2

Divida $d$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.8

Como $\frac{1}{c}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{c}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.9

Divida a fração em diversas frações.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.10

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.11

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 2.3.11.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.11.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.12

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.14

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.15

Como $d$ é constante com relação a $u$ , mova $d$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.16

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.17

Combine $\frac{1}{c}$ e $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Etapa 2.3.18

Como $b$ é constante com relação a $u$ , mova $b$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.19

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Etapa 2.3.20

Simplifique.

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Etapa 2.3.20.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.20.2.1

Para escrever $b \ln (| u |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.3

Multiplique $\frac{1}{c}$ por $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.4

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.5

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Etapa 2.3.20.2.7

Some $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Etapa 2.3.21

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$