Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.5

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.8.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Etapa 1.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Etapa 1.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

Etapa 1.10

Combine $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Etapa 1.11

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.12

Use a potência da regra do quociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Etapa 1.13

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{2 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Etapa 1.13.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Divida a fração $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ em duas frações.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Etapa 6.1.1.1.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.3.1

Escreva $- V$ como uma fração com denominador $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

Etapa 6.1.1.1.3.2

Multiplique $\frac{- V}{1}$ por $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

Etapa 6.1.1.1.3.3

Multiplique $\frac{- V}{1}$ por $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

Etapa 6.1.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.4.1

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.4.1.1

Mova $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5.4.1.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.5.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.6

Subtraia $2 V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.7

Reordene os termos.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.8

Divida a fração $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ em duas frações.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.9

Fatore $V$ de $- V^{2} - 3 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.9.1

Fatore $V$ de $- V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.9.2

Fatore $V$ de $- 3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.1.9.3

Fatore $V$ de $V (- V) + V \cdot - 3$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2.4

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.2.4.1

Mova $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2.4.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (V^{2}) - (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.3.6.1

Reescreva $- (V^{2} + 3 V - 2)$ como $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $2 V + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ para o numerador.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Fatore $2 V + 3$ de $- (2 V + 3)$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Etapa 6.1.4.3.3

Fatore $2 V + 3$ de $(2 V + 3) x$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

Etapa 6.1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Etapa 6.1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V^{2} + 3 V - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Deixe $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Depois, $d u = (2 V + 3) d V$ , então, $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V^{2} + 3 V - 2$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d V} [3 V]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $3 V$ em relação a $V$ é $3 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- 2$ em relação a $V$ é $0$ .

$2 V + 3 + 0$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Some $2 V + 3$ e $0$ .

$2 V + 3$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 8.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Etapa 8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Etapa 8.3.2

Combine $3$ e $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

Etapa 8.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

Etapa 8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.6.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Etapa 8.6.1.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Etapa 8.6.1.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Etapa 8.6.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$