Cálculo Exemplos

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x d x$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Etapa 3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Etapa 3.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Etapa 3.5.2

Eleve $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ à potência de $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Etapa 3.5.3

Eleve $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ à potência de $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Etapa 3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Etapa 3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Etapa 3.5.6

Reescreva ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ como $(a + x) (a - x)$ .

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Etapa 3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ como ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Etapa 3.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Etapa 3.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Etapa 3.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Etapa 3.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Etapa 3.5.6.5

Simplifique.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Etapa 3.6

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = (a + x) (a - x)$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = (a + x) (a - x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Etapa 4.3.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = a + x$ e $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.6.3

Reescreva $- 1 (a + x)$ como $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Etapa 4.3.2.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.2.1.3.8

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.2.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Etapa 4.3.2.1.3.11

Multiplique $a - x$ por $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Etapa 4.3.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- a - x + a - x$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.3.2.1.4.2.1

Some $- a$ e $a$ .

$- x + 0 - x$

Etapa 4.3.2.1.4.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$- x - x$

Etapa 4.3.2.1.4.2.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.2.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.2.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.7.2.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.3.7.2.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.7.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.7.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3.7.3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.7.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.7.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.7.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

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Etapa 4.3.9.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.9.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.9.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$