Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{2}{y}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $\frac{x + 1}{x}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Etapa 3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 3.5.4.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.4.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 3.5.4.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 3.5.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Etapa 4.3

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Etapa 4.4

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$