Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{2}{20 - x}$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Etapa 1.2.2

Deixe $u = 20 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.2.2.1

Deixe $u = 20 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Etapa 1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 1.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 1.2.7

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Etapa 1.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(20 - x)}^{- 2}$

Etapa 1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{2}{20 - x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ por $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique ${(20 - x)}^{2}$ por $20 - x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique ${(20 - x)}^{2}$ por $20 - x$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Eleve $20 - x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u = 20 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = 20 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 6.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 6.5.2

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 6.5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 6.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Etapa 6.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Reescreva $- 4 (- u^{- 1} + C)$ como $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 6.7.2

Simplifique.

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Etapa 6.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Etapa 6.7.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Etapa 6.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Subtraia $\frac{4}{20 - x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Etapa 7.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Etapa 7.1.4

Para escrever $- \frac{4}{20 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Etapa 7.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(20 - x)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1.5.1

Multiplique $\frac{4}{20 - x}$ por $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Etapa 7.1.5.2

Eleve $20 - x$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Etapa 7.1.5.3

Eleve $20 - x$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Etapa 7.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Etapa 7.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Etapa 7.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Etapa 7.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Etapa 7.1.7.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Etapa 7.1.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Etapa 7.1.8

Para escrever $- C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.9

Combine $- C$ e $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.11.1

Reescreva ${(20 - x)}^{2}$ como $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.2

Expanda $(20 - x) (20 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.11.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1.11.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.11.3.1.1

Multiplique $20$ por $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.3

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.11.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.3.2

Subtraia $20 x$ de $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.5

Simplifique.

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Etapa 7.1.11.5.1

Multiplique $400$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.1.11.6

Multiplique $- 1$ por $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.2

Defina o numerador como igual a zero.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Etapa 7.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.3.1

Some $80$ aos dois lados da equação.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Etapa 7.3.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Etapa 7.3.3

Some $400 C$ aos dois lados da equação.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Etapa 7.3.4

Subtraia $40 C x$ dos dois lados da equação.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Etapa 7.3.5

Some $C x^{2}$ aos dois lados da equação.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$