Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Etapa 1

Deixe $v = b - y$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $b - y$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $b - y$ .

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $b - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Etapa 2.4

Subtraia $y'$ de $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Etapa 4

Separe as variáveis.

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $v$ de $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Etapa 4.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Etapa 4.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Etapa 5

Integre os dois lados.

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Etapa 5.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Etapa 5.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

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Etapa 5.2.1.1

Combine $\frac{1}{v}$ e $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Etapa 5.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Etapa 5.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Etapa 5.2.3

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Etapa 5.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Etapa 6

Resolva $v$ .

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- \ln (| v |) = a x + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| v |) = a x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.1.2.2

Divida $\ln (| v |)$ por $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (a x)$ como $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Etapa 6.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Etapa 6.2

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Etapa 6.3

Reescreva $\ln (| v |) = - a x - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Etapa 6.4

Resolva $v$ .

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Etapa 6.4.1

Reescreva a equação como $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Etapa 6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Etapa 7

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 7.1

Simplifique a constante de integração.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Etapa 7.2

Reescreva $e^{- a x + C}$ como $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Etapa 7.3

Reordene $e^{- a x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Etapa 7.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C e^{- a x}$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Etapa 9

Resolva $y$ .

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Etapa 9.1

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$- y = C e^{- a x} - b$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $- y = C e^{- a x} - b$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $- y = C e^{- a x} - b$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Etapa 9.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ como $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Etapa 9.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Etapa 9.2.3.1.4

Divida $b$ por $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Etapa 10

Simplifique a constante de integração.

$y = C e^{- a x} + b$