Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3}{2}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ e $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Etapa 3.4

Multiplique $e^{\frac{3 x}{2}}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Etapa 3.4.3

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Etapa 3.4.4

Combine $- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Etapa 3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Fatore $x$ de $- x \cdot 2 + 3 x$ .

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Etapa 3.4.6.1.1

Fatore $x$ de $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Etapa 3.4.6.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Etapa 3.4.6.1.3

Fatore $x$ de $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Etapa 3.4.6.3

Some $- 2$ e $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Etapa 7.2

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 7.2.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Etapa 7.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Etapa 7.4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Etapa 7.5.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Etapa 7.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Etapa 7.8

Reordene os termos.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ por $e^{\frac{3 x}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ por $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{2} x}$ e $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $e^{\frac{3 x}{2}}$ de $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.1.3

Fatore $x$ de $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Subtraia $3$ de $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Fatore $2$ de $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3.2.4

Divida $x \cdot - 1$ por $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $2$ de $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Etapa 10.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Etapa 10.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Etapa 10.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Etapa 10.2.2.2.4

Divida $3 \cdot 0$ por $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Etapa 10.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Etapa 10.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Etapa 10.2.4

Divida $C$ por $1$ .

$1 + C = 5$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = 5 - 1$

Etapa 10.3.2

Subtraia $1$ de $5$ .

$C = 4$

Etapa 11

Substitua $4$ por $C$ em $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $4$ por $C$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$