Cálculo Exemplos

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x d x$ dos dois lados da equação.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Etapa 3.3

Combine $x$ e $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Negative o expoente de $e^{- x}$ e o mova para fora do denominador.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 4.3.2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Etapa 4.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 4.3.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $- - e^{x}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2$ de $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Etapa 5.4.4

Fatore $2$ de $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Etapa 5.4.5

Fatore $2$ de $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$