Cálculo Exemplos

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Some $x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Etapa 1.1.3

Fatore $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ por $y^{2} (1 + x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ por $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + x) y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

Etapa 1.2.2.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

Etapa 1.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

Etapa 1.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.2.4

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2} + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.2.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $- 1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{1 + x}$ por $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $y^{2}$ de $(1 + x) y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $- 1 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $- 1 + y$ de $x^{2} (- 1 + y)$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reordene $- 1$ e $y$ .

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida $y^{2}$ por $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Etapa 2.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

Etapa 2.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} - y$ .

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

Etapa 2.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

Etapa 2.2.2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

Etapa 2.2.2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y - 1$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

Etapa 2.2.2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 2.2.2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.6

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.6.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reordene $1$ e $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Divida $x^{2}$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 2.3.2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 2.3.2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 2.3.2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 2.3.2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.6

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$