Cálculo Exemplos

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(2 x y - e^{y} - x) d x$ dos dois lados da equação.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (2 x y - e^{y} - x)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - e^{y} - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.2.3

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{y}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Etapa 2.4.2

Some $2 x - e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{y} + y - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x e^{y}$ em relação a $x$ é $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Etapa 3.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Some $e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 x + e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x + e^{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 6.2

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 6.3

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Etapa 6.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Etapa 6.6

Simplifique.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x e^{y}$ em relação a $x$ é $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.3.3

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.4

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Etapa 9.5.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.7

Simplifique.

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Etapa 9.7.1

Some $e^{y}$ e $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 9.7.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Simplifique $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Etapa 10.1.1.1

Reescreva.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 10.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Etapa 10.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Etapa 10.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 10.1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Etapa 10.1.1.4.2

Multiplique $- - e^{y}$ .

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Etapa 10.1.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Etapa 10.1.1.4.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Etapa 10.1.1.4.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 10.1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Etapa 10.1.1.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Etapa 10.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.2.1

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Etapa 10.1.2.2

Subtraia $e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Etapa 10.1.2.3

Combine os termos opostos em $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

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Etapa 10.1.2.3.1

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Etapa 10.1.2.3.2

Some $e^{y} + x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Etapa 10.1.2.3.3

Subtraia $e^{y}$ de $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 10.1.2.3.4

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 11.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$